Viermal so groß: Was die Mercator-Karte mit Flächen macht
Auf der Erde bleibt ein kleiner Kreis gleich groß. Auf der Mercator-Karte wächst sein Abbild. Bei 60° Breite reicht „doppelt so breit“ noch nicht als Erklärung: Ein zweiter Schritt macht daraus die vierfache Fläche.
Ein Kreis zieht um
Stell dir zwei winzige, gleich große Kreise auf der Erde vor: einen am Äquator, einen bei 60° nördlicher Breite. Niemand fügt Fläche hinzu. Trotzdem beansprucht der nördliche Kreis auf einer Mercator-Karte viermal so viel Papier – im lokalen Grenzfall unseres Kugelmodells.
Die Karte wurde dabei nicht herangezoomt. Der Trick steckt in ihrer Geometrie. Beobachte im Labor zuerst die Breite des Kreises, dann seine Höhe. Die beiden Veränderungen verraten zusammen, woher die zusätzliche Bildfläche kommt.
Gleich viel Erde, verschieden viel Karte
Gleich viel Fläche auf der Kugel, viermal so viel auf der Karte: Vergleiche 60° mit dem Äquator bei 0°. Beobachte beide Lineale. Wechsle danach zu Equal Earth – und achte darauf, was der Kreis dafür aufgibt.
Sphärisches Modell · zentraler Meridian (λ = 0°) · fester Zoom
60°: zweimal so breit UND zweimal so hoch. 2 × 2 = 4. Die Karte zeigt vierfache Fläche; auf der Kugel ist nichts gewachsen.
Auf der Kugel
Auf der Mercator-Karte
Die kleine Markierung zeigt nur den Ort. Die großen Messkreise darunter sind lokale Vergrößerungen mit demselben festen Faktor. Sie sind keine Länderumrisse. Die gestrichelte Linie zeigt den unverzerrten Kreis; die Karten haben denselben festen Maßstab. Der Mercator-Ausschnitt reicht von 75° Süd bis 75° Nord.
Breite mal Höhe ergibt Fläche.2 × 2 = 4
Vier Stationen, eine unveränderte Fläche
0°: Breite ×1 · Höhe ×1 · Fläche ×1
Am Äquator stimmt der Maßstab in beiden Richtungen. Der kleine Kreis wird unverändert gezeichnet.
30°: Breite ×1,15 · Höhe ×1,15 · Fläche ×1,33
Die Meridiane stehen auf der Kugel näher zusammen, auf Mercator bleiben sie parallel. Die Karte streckt hier Breite und Höhe auf ungefähr das 1,15-Fache; die Fläche wird 1⅓-mal so groß.
45°: Breite ×1,41 · Höhe ×1,41 · Fläche ×2
Beide Längen wachsen auf √2 ≈ 1,41. Multipliziert wird daraus die doppelte Fläche. Es gab keinen Zoom und keinen zusätzlichen Boden.
60°: Breite ×2 · Höhe ×2 · Fläche ×4
Jetzt ist der Abstand der Meridiane auf der Kugel halb so groß wie am Äquator. Mercator verdoppelt die Breite und – um lokale Winkel zu erhalten – auch die Höhe. 2 × 2 = 4: vierfache Fläche, unveränderter Boden.
Die Auflösung: Fläche retten, Form verändern
Equal Earth bei 60°: Breite ×1,3, Höhe ×0,77. Das Produkt der ungerundeten Werte ist genau 1. Der Kreis wird zur Ellipse. Die flächentreue Karte bewahrt das Größenverhältnis und gibt dafür die lokale Kreisform auf. Auch am Äquator ist dieser Kreis bei Equal Earth leicht elliptisch.
Welche Karte hilft bei welcher Frage? Zum Vergleichen von Flächen: Equal Earth. Für eine gerade Linie bei konstantem wahrem Kurs: Mercator. Ein konstanter Kurs ist im Allgemeinen nicht der kürzeste Weg.
Der erste Faktor: Die Meridiane rücken auseinander
Auf einem Globus laufen die Längenkreise zu den Polen hin zusammen. Zwei benachbarte Meridiane haben bei 60° Breite nur noch halb so viel Abstand entlang des Breitenkreises wie am Äquator.
Die Mercator-Karte zeichnet dieselben Meridiane jedoch als parallele Geraden mit gleichbleibendem Abstand. Was auf der Kugel zusammengerückt ist, wird auf dem Papier wieder auseinandergezogen. Ein kleiner Abschnitt in Ost-West-Richtung wird bei 60° deshalb doppelt so breit dargestellt wie ein gleich langer Abschnitt am Äquator.
Bis hierher wäre unser Kreis nur breit geworden. Er sähe wie ein flacher ovaler Aufkleber aus. Genau hier fehlt noch die zweite Hälfte der Erklärung.
Der zweite Faktor: Auch die Höhe muss mit
Mercator ist winkeltreu: In einer sehr kleinen Umgebung bleiben Winkel erhalten. Dazu gehört, dass der lokale Maßstab in alle Richtungen gleich ist. Wenn die Breite doppelt gedehnt wird, muss die Nord-Süd-Richtung ebenfalls um denselben Faktor wachsen.
Aus „doppelt breit“ wird also „doppelt breit und doppelt hoch“. Zeichne zur Kontrolle ein Kästchen und daneben ein Quadrat mit doppelt so langen Seiten. In das große Quadrat passen vier kleine. Dasselbe Flächenprinzip gilt für den Kreis: Sein doppelter Durchmesser bedeutet vierfache Fläche.
Winkeltreue bewahrt nicht die vollständige Form eines großen Landes. Zwischen dessen Süden und Norden ändert sich der Maßstab. Unser winziger Messkreis zeigt eine lokale Eigenschaft; er ist keine Schablone zum pauschalen Verkleinern ganzer Kontinente.
Eine Rechnung, die die Überraschung vorhersagt
Im verwendeten Kugelmodell ist der lineare Faktor 1 / cos(φ). φ bezeichnet die geografische Breite, der Maßstab am Äquator ist die Referenz. Weil derselbe Faktor in beide Richtungen wirkt, lautet der Flächenfaktor 1 / cos²(φ).
Bei 60° ist cos(60°) = 0,5. Damit werden aus 1 / 0,5 = 2 für die Länge und 2 × 2 = 4 für die Fläche zwei verschiedene Antworten auf zwei verschiedene Fragen. Bei 45° beträgt der Längenfaktor ungefähr 1,414; erst die Fläche ist dort genau doppelt so groß.
Südlich des Äquators gilt dasselbe für den entsprechenden Breitengrad. Die Vergrößerung ist keine Sonderregel für den Norden. In Richtung der Pole wächst sie unbegrenzt; die Pole selbst passen nicht auf eine endliche Mercator-Karte.
Equal Earth: Die Fläche bleibt, der Kreis gibt nach
Wechsle im Labor zu Equal Earth. Diese 2018 von Bojan Šavrič, Tom Patterson und Bernhard Jenny entwickelte Weltkartenprojektion ist flächentreu: Gleich große Gebiete auf der Erde erhalten gleich große Bildflächen bei einem gemeinsamen Kartenmaßstab.
Der Messkreis darf dafür seine Form verändern. Im Labor betrachten wir seinen Abdruck am Mittelmeridian. Die angezeigten Faktoren in Ost-West- und Nord-Süd-Richtung sind dort meist verschieden, ihr Produkt bleibt 1. Ein schmaleres, höheres oder breiteres, flacheres Oval kann genauso viel Fläche einschließen wie der ursprüngliche Kreis.
Das ist der entscheidende Tausch. Ein kreisrunder Abdruck kann eine falsche Vorstellung von Größe erzeugen. Ein verzerrter Abdruck kann die Größe korrekt vergleichbar machen. Die angenehmere Form ist kein Beweis für die passendere Karte.
Zwei Aufgaben, zwei gute Entscheidungen
Eine flache Weltkarte kann nicht gleichzeitig alle Winkel, Flächen und Entfernungen der Kugel bewahren. Frage beim nächsten Kartenbild deshalb zuerst: Welche Eigenschaft brauche ich für meinen Vergleich? Der Norden hat kein zusätzliches Land bekommen. Du weißt jetzt, wer ihm auf dem Papier Platz gemacht hat.
- Du möchtest vergleichen, wie viel Fläche zwei Waldgebiete einnehmen. Eine flächentreue Projektion wie Equal Earth erhält dieses Größenverhältnis. Das sagt noch nichts über Baumzahl oder Bevölkerungsdichte aus: Fläche und Menge sind unterschiedliche Größen.
- Du möchtest eine Linie mit konstantem Kurs gegenüber geografisch Nord als Gerade darstellen. Dafür besitzt Mercator eine besondere Eigenschaft: Solche Linien, Loxodromen, erscheinen gerade. Sie sind in der Regel nicht die kürzeste Verbindung auf der Kugel.
Was dieses Labor genau zeigt
Wir rechnen mit einer Kugel, nicht mit dem Erdellipsoid. Die Mercator-Skala stimmt am Äquator; der Zoom bleibt fest. Die vergrößerten Kreise und Ellipsen veranschaulichen den lokalen Grenzfall eines sehr kleinen Gebiets. Sie sind keine maßstabgetreuen Grundstücksgrenzen.
Bei Equal Earth liegt der Messpunkt auf dem Mittelmeridian. Die Richtung und Form der Verzerrung können an anderen Längengraden anders aussehen. Für die Fläche eines ganzen Landes müsste man dessen vollständige Geometrie berücksichtigen. Ebenso betrifft die Erklärung die normale Mercator-Weltkarte; sie bewertet keine örtliche Karte in transversaler Mercator-Projektion.
Quellen und weiterführende Informationen
- PROJ: Mercator – Eigenschaften und Kugelformeln
- USGS: Map Projections – Vergleich von Eigenschaften und Verwendungen
- PROJ: Equal Earth – flächentreue Weltkartenprojektion
- Esri: Equal Earth – Verzerrungen und Anwendungsbereich
- USGS: Wie Kartenprojektionen verwendet werden
- PROJ: Equal Earth – mathematische Implementierung