Треугольник повернулся. Почему линейки не разошлись?
Круг умеет этот фокус. Но у него есть угловатый соперник.
Сначала поверните
Представьте две параллельные линейки, плотно придвинутые к круглой монете с противоположных сторон. Поверните монету: расстояние не изменится. Квадрат выдаст себя почти сразу — ему понадобится больше места.
А теперь заменим круг выпуклым «треугольником». У него три заметных угла. Прежде чем читать дальше, поверните его на 30°, потом ещё раз. Следите сначала за линейками, а затем за красной точкой.
Поймайте изменение ширины
Переключайте фигуры и поворачивайте их ползунком или кнопкой. Единица — диаметр круга, сторона квадрата или сторона исходного равностороннего треугольника. Ниже есть три неподвижных положения и объяснение.
- Расстояние между линейками
- 1.000
- Высота центра над нижней линейкой
- 0.423
Нижняя линейка неподвижна. Фигура поворачивается и сдвигается, касаясь её; верхняя линейка следует за верхом фигуры. Точка всё время отмечает один и тот же центр. Здесь сравнивается ширина, а не траектория качения.
Три положения для сравнения
Три положения для сравнения
Выпуклый треугольник сохраняет расстояние 1,000 при любом угле. Его центр меняет высоту: примерно 0,423 при 0°, 0,500 при 30° и 0,577 при 60°. Квадрат увеличивает ширину с 1,000 при 0° до примерно 1,366 при 30°. Постоянная ширина не означает постоянного расстояния от центра.
Линейки остались. Точка уехала
У треугольника Рёло расстояние между линейками остаётся равным единице. При этом красная точка поднимается и опускается. Это центр симметрии вращения фигуры — пересечение медиан исходного равностороннего треугольника.
Проверьте квадрат при 45°: его ширина становится примерно 1,414 стороны. У круга всё спокойнее: расстояние между линейками равно диаметру, а центр всегда находится ровно посередине. Выпуклый треугольник разделяет с кругом первое свойство, но не второе.
Фокус собирается из трёх дуг
Начните с равностороннего треугольника. Поставьте иглу циркуля в одну вершину, разведите ножки до другой и проведите короткую дугу между двумя оставшимися вершинами. Не меняя раствор, повторите построение из каждой вершины. Три внешние дуги и образуют границу треугольника Рёло.
Каждая дуга — часть окружности, центр которой находится в противоположной вершине. Поэтому, когда одна линейка касается этой вершины, а другая — соответствующей дуги, расстояние между ними равно радиусу построения. При повороте контакт переходит к следующей паре, но радиус остаётся тем же.
Здесь «ширина» означает расстояние между двумя параллельными опорными прямыми, которые касаются фигуры с противоположных сторон. Это не обещание, что любой отрезок через её середину имеет одну длину.
Доска сверху и ось внутри — две разные задачи
Если сделать несколько одинаковых цилиндрических роликов с таким поперечным сечением и положить на них плоскую доску, на ровной поверхности геометрия позволит доске оставаться на одной высоте. Между полом и доской всё время одна и та же ширина ролика.
Но теперь мысленно прикрепите груз не к доске, а к оси, проходящей через красный центр. Он будет подниматься и опускаться вместе с точкой. Обычное колесо с неподвижной относительно кузова осью так не заменить: потребуется другой механизм опоры.
В нашей схеме фигура поворачивается и сдвигается до касания нижней линейки. Она показывает высоту и ширину в разных положениях; движение вправо и качение без проскальзывания здесь не изображены.
Похожий компромисс уже лежит в кармане
У британских монет в 20 и 50 пенсов семь закруглённых сторон. Королевский монетный двор объясняет эту форму сочетанием узнаваемого контура и постоянного диаметра качения: монету легко отличать от круглых, а её ширина удобна для монетоприёмников.
Это не наш треугольник с четырьмя добавленными углами и не обычный семиугольник с прямыми сторонами. Дуги построены так, чтобы сохранять ширину при повороте.
Вернитесь к красной точке. Линейки отвечают на вопрос «сколько места занимает фигура?». Ось — на вопрос «на какой высоте я поеду?». У круга ответы дружат. У треугольника Рёло расходятся.