Выбирайте кубик первым. Я всё равно получу преимущество
Я предлагаю вам первый выбор. Все числа на гранях видны заранее, кубики честные. Почему это не такая уж щедрость?
Берите любой. Числа уже написаны.
Выберите любой кубик. Я покажу свой ответ — и почему он чаще выигрывает.
Ваш кубик?
После вашего выбора я возьму один из оставшихся кубиков. Затем мы бросили бы по одному разу: у кого число больше, тот выиграл. Ничьи между разными кубиками здесь невозможны.
Модель: каждый кубик честный, все шесть его граней равновероятны, броски независимы. Повторяющиеся числа занимают разные грани.
A: 0 · 0 · 4 · 4 · 4 · 4
B: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3
C: 2 · 2 · 2 · 2 · 6 · 6
D: 1 · 1 · 1 · 5 · 5 · 5
У вас A. Я беру D.
У D три пятёрки: каждая побеждает любую грань A. Это 3 × 6 = 18 исходов. Три единицы D побеждают только два нуля A: ещё 3 × 2 = 6.
Итого мой D выигрывает в 24 из 36 равновероятных исходов: шанс 2/3. Ваш A выигрывает в остальных 12: шанс 1/3. Броска ещё не было — вы вполне можете выиграть.
У вас B. Я беру A.
Ваш B всегда даёт тройку. У A четыре четвёрки и два нуля. Четвёрка побеждает, ноль проигрывает.
Поэтому мой A выигрывает в 4 × 6 = 24 из 36 равновероятных исходов: шанс 2/3. Ваш B выигрывает в остальных 12: шанс 1/3. Постоянство тройки не защищает её от четвёрки.
У вас C. Я беру B.
Шестёрки выглядят внушительно. Но на четырёх гранях C написано 2. Мой B всегда даёт 3 и побеждает каждую из этих четырёх граней.
Итого мой B выигрывает в 6 × 4 = 24 из 36 равновероятных исходов: шанс 2/3. Ваш C выигрывает в остальных 12: шанс 1/3. Большой возможный выигрыш и частая победа — разные вещи.
У вас D. Я беру C.
Две шестёрки C побеждают любую из шести граней D: 2 × 6 = 12 исходов. Четыре двойки C побеждают три единицы D: ещё 4 × 3 = 12.
Итого мой C выигрывает в 24 из 36 равновероятных исходов: шанс 2/3. Ваш D выигрывает в остальных 12: шанс 1/3. Ниже можно пересчитать каждую клетку этой пары.
Самый сильный должен быть. Но его нет.
Если A чаще побеждает B, а B чаще побеждает C, хочется поставить A выше C и продолжить рейтинг. Здесь рейтинг сворачивается в кольцо: A чаще побеждает B, B — C, C — D, D — A. В каждой из этих четырёх направленных пар вероятность победы первого равна 2/3.
Так устроены кости Эфрона. Слово «нетранзитивность» означает, что преимущество нельзя переносить по цепочке. Это похоже на «камень, ножницы, бумага», только здесь победитель отдельного раунда определяется случайно.
Никакой случайной демонстрации. Все 36 случаев.
Возьмём C против D. В таблице каждая строка — отдельная грань C, каждый столбец — отдельная грань D. Даже одинаковые числа повторяются: это разные, равновероятные грани. Клетка показывает, чей результат больше.
В четырёх строках с двойками C побеждает только единицы D: 4 × 3 = 12 клеток. В двух строках с шестёрками C побеждает всё: 2 × 6 = 12 клеток. Вместе 24 из 36, то есть 2/3.
А если выбрать по среднему?
У C самое большое среднее число в этом наборе: (2 + 2 + 2 + 2 + 6 + 6) / 6 = 10/3. У B среднее всего 3. И всё же B побеждает C с вероятностью 2/3.
Шестёрки поднимают среднее C, но победа с огромным отрывом всё равно считается одной победой. Мы сравниваем частоту побед, а не сумму выпавших очков.
Поменяемся местами
Это можно проверить двумя обычными кубиками. Для выбранной буквы используйте её список из шести чисел как таблицу: выпало 1 — берёте первое число, выпало 2 — второе, и так далее. Каждый участник бросает свой обычный кубик независимо. Ничего переклеивать не нужно.
В короткой серии игрок с шансом 1/3 может победить чаще. Вероятность 2/3 не обещает ни выигрыш следующего броска, ни ровно две победы за три попытки.
Теперь предложите другу выбрать первым. А потом отдайте ему право второго выбора. Числа останутся прежними. Преимущество перейдёт вместе с правом ответить.